南昌市2007年初中毕业、升学考试数学试题将努力贯彻教育部关于积极推进中小学评价与考
试制度改革的通知的有关精神，从有利于贯彻国家的教育方针，推进中小学实施素质教育；
有利于体现九年义务教育的性质，全面提高教育质量；有利于中小学课程改革，培养学
生的创新精神和实践能力，有利于减轻学生过重的负担，促进学生生动、活泼、主动学习出
发。以《九年义务教育数学课程标准》为依据，以现行教材为基本内容，主要考查学生的初
中数学基础知识、基本技能和基本方法。考查学生的基本运算能力、思维能力和空间观念的
同时，着重考查学生运用数学知识解决简单的实际问题，设计一定量的结合现实情境的应用
问题和开放探索性问题，不出人为编造的、繁难的计算题和证明题，不出偏题、怪题。努力
体现高一级学校数学学习的需要。
一、考试内容与要求
(一)数与代数
1 数与式：
(1)有理数
①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。
②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号
内不含字母)。
③理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主)。

④理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。
⑤能运用有理数的运算解决简单的问题。
⑥能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。
(2)实数
①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
②了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运
算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
③了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
④能用有理数估计一个无理数的大致范围。
⑤了解近似数与有效数字的概念；在解决实施问题中，能用计算器进行近似计算，
并按问题的要求对结果取近似值。
⑥了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简
单四则运算(不要求分母有理化)。
(3)代数式
①在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义。
②能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示。
③能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。
④会求代数式的值。
(4)整式与分式
①了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)。
②了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算(其
中的多项式相乘仅指一次式相乘)。
③会推导乘法公式：(a+b)(a-b)=a2+b2;(a+b)2=a2+2ab+b2，了解公式的
几何背景，并能进行简单计算。
④会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)。
⑤了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加
、减、乘、除运算。
2 方程和不等式：
(1)方程与方程组
①能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有
效的数学模型。
②经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。
③会解一元一次方程，简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程(方
程中的分式不超过两个)。
④理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
⑤能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
(2)不等式与不等式组
①能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。
②会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上的表示出解集。会解由两个一元一次
不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。
③能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解
决简单的问题。
3 函数
(1)探索具体问题中的数量关系和变化规律
(2)函数
①通过简单实例，了解常量、变量的意义。
②能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。
③能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。
④能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求函数值。
⑤能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。
⑥结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。
(3)一次函数
①结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。
②会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b(k≠0)探索并理
解其性质(k>0或k<0时，图象的变化情况)。
③理解正比例函数。
④能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
⑤能用一次函数解决实际问题。
(4)反比例函数
①结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。
②能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式y=k x(k≠0
)探索并理解其性质(k>0或k<0时，图象的变化)。
③能用反比例函数解决某些实际问题。
(5)二次函数
①通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
②会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。
③会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能
解决简单的实际问题。
④会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
(二)空间与图形
1 图形的认识
(1)点、线、面
通过丰富的实例，进一步认识点、线、面(如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由点
组成的)。
(2)角
①通过丰富的实例，进一步认识角。
②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒
，会进行简单换算。
③了解角平分线及其性质。
(3)相交线与平行线
①了解补角、余角、对顶角、知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。
②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。
③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一
条直线的垂线。
④了解线段垂平分线及其性质。
⑤知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质。
⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知
直线外一点画这条直线的平行线。
⑦体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。
(4)三角形
①了解三角形有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，会画出任意三角形的
角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。
②探索并掌握三角形中位线的性质。
③了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。
④了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰
三角形的条件；了解等边三角形的概念并探索其性质。
⑤了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角
形的条件。
⑥体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定
理判定直角三角形。
(5)四边形
①探索并了解多边形的内角和外角和公式，了解正多边形的概念。
②掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关
系；了解四边形的不稳定性。
③探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件。
④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件。
⑤探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件。
⑥探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义(如一根均匀木棒
、一块均匀的矩形木板的重心)。
⑦通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平
面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。
(6)圆
①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与
圆以及圆与圆的位置关系。
②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。
③了解三角形的内心和外心。
④了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为
圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。
⑤会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。
(7)尺规作图
①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平
分线，作线段的垂直平分线。
②利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知
两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。
③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。
④了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)。
(8)视图与投影
①会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图(主视图、左视图、俯视图)
，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何或实物原型。
②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。
③了解基本几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系；通过典型实例，知道
这种关系在现实生活中的应用(如物体的包装)。
④观察与现实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等)，了解并
欣赏一些有趣的图形(如雪花曲线、莫比乌斯带)。
⑤知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影(如在阳光或
灯光下，观察手的阴影或人的身影)。
⑥了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。
⑦了解中心投影和平行投影。
2 图形与变换
(1)图形的轴对称
①认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性
质。
②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之
间的轴对称关系，并能指出对称轴。
③探索基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性
及其相关性质。
④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面
对称，能利用轴对称进行图案设计。
(2)图形和平移
①认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质。
②能按要求作出简单平面图形平移后的图形。
③利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。
(3)图形的旋转
①认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋
转中心连线所成的角彼此相等的性质。
②了解平行四边形、圆是中心对称图形。
③能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
④欣赏旋转在现实生活中的应用。
⑤探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)。
⑥灵活运用轴对称、平移和旋转的组织进行图案设计。
(4)图形的相似
①了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了
解黄金分割。
②认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边
成比例，面积的比等于对应边比的平方。
③了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。
④了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。
⑤能观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题(如
利用相似测量旗杆的高度)。
⑥认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角
的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的
锐角。
⑦运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
3 图形与坐标
(1)认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位
置、由点的位置写出它的坐标。
(2)能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。
(3)在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。
(4)灵活运用不同的方式确定物体的位置。
4 图形与证明
(1)了解证明的含义
①理解证明的必要性。
②了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。
③了解逆命的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
④理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。
⑤体会反证法的含义。
⑥掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。
(2)掌握以下基本事实，作为证明的依据
①一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。
②两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。
③若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三
角形全等。
④全等三角形的对应边、对应角分别相等。
(3)利用(2)中的基本事实证明下列命题
①平行线的性质定理(内错角相等、同旁内角互补)和判定定理(内错角相等或同旁内
角互补，则两直线平行)。
②三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外
角大于任何一个或它不相邻的内角)。
③直角三角形全等的判定定理。
④角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点(内心)。
⑤垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心)。
⑥三角形中位线定理。
⑦等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。
⑧平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。
(4)通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎系对数学发展和人类文明的价值
(三)统计与概率
1 统计
(1)从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据。
(2)感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可能得到不同的结果。

(3)会用扇形统计图表示数据。
(4)在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表
示数据的集中程度。
(5)探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的
离散程度。
(6)理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数
分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题。
(7)体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数
和方差。
(8)根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表
达自己的观点，并进行交流。
(9)能根据问题查找有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法。

(10)认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题。
2 概率
(1)在具体情境中了解概率的意义，运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件
发生的概率。
(2)通过实验，获得事件发生的频率，知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率
的估计值。
(3)通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。
(四)课题学习
1 经历“问题情境 建立模型 求解 解释与应用”的基本过程。
2 体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识。
3 获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识。
4 通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。
二、考试形式与试卷结构
1 考试形式：考试时间：120分钟；全卷满分值：120分；闭卷；今年暂不使用计算器。
2 试卷结构：
(1)试题题型及分值结构
题号 一
 二 三 四 五
1~8 9~16 17~20 21~23 24~25〖
〗全卷满分
满分值 24分 24分〖
〗24分 24分 24分
题型 选择题 填空题 解答题 解答题 综合题 120分
(2)试题难度(P)及分值
级别 难度 分值 百分比
A级 0.8＜P≤0.9 36分 30%
B级 0.7＜P≤0.8 36分 30%
C级 0.4＜P≤0.7 36分 30%
D级 0.1＜P≤0.4 12分 10%
3 试题立意
2007年中招数学试题，将发挥数学是基础学科的作用，既重视考查初中数学基础知识，基本
技能和基本方法。又注重考查进入高一级学校继续学习的潜能。继承和发扬近几年试题改革
的成果和经验，在保持整体形式与内涵相对稳定的前提下，有所改革和创新，主要包括：“
立足“三基”，突出能力考查，从学科的整体知识结构和思想体系上考虑问题，加强试题的
探索意识和创新意识，加强试题的应用价值，适当调整题型结构，创设新颖的情景和设问方
法，转变评价观念。努力做到重点知识重点考查，基础知识全面考查。
三、样题范例
例1选择题
选择题有8小题，每小题3分，共24分.每小题只有一个正确选项，要求考生将每小题正确选
项的代号填入对应的选择题中的括号内，不能不填，也不能多填.
(1)已知(a-3)2+｜b-4｜="0,则a" b的平方根是().
(A)3 2(B)±3
 2(C)3 4(D)±3 4
图1
(2)如图1，数轴上表示1、2的对应点分别为A、B，点B关于点A的对
称点C，则点C所表示的数是()
(A)2-1(B)1-2
(C)2-2(D)2-2
图2
(3)已知△ABC，
(1)如图(1)，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P="90°+1" 2
∠A；
(2)如图(2)，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P="90°-∠A； (3)如图(3)，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°-1 2∠A.
上述说法正确的个数是()
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个

(4)如图3，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少
需要移动()

(A)8格(B)9格图3
(C)11格(D)12格
题号 答案 难度级别
解读
(1) B A 非负数与平方根的概念
(2) C B 数形结合与对称
(3) C B 三角形内角和灵活运用
(4) B B 格点中的几何
图4
例2填空题
填空题其有8小题，每小题3分，共24分.要求考生将最后答案填入对应题的横线上，答案要
求最简洁，不必写中间过程.
(1)右表图4，是2002年6月份的日历，现用一矩形在日历中任意框出4个数adcb，请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系
.
图5
(2)多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的
单项式可以是(填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可
能情况).

(3)如图5，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的
高是.

(4)如图6是的小正形构成的几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个
数是.
图6
题号 答案 难度级别 解
读
(1) a+b="c+d" A 找规律
(2) ±4x或4x4或-1或-4x2 A 完全平方公式
(3) 3 55 B 灵活的几何计算
(4) c A 空间观念
例36分解答题
6分解答题共6小题，每小题6分，共36分。忠实于教材，不拓展、不综合，检查考生的基本
运算能力、基本推理能力.包括代数题、几何题.要求书写解题过程，关键步骤不能省略.

(1)计算：-9÷3+(1 2-2 3)×12+32.
图7
(2)如图7，有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人.一
天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36
个人等待通过(假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计).通过道口后，还需7分钟到
达学校.
①此时，若绕道而行，要15分钟到达学校.从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还
是选择通过拥挤的道口去学校
②若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常(维持秩序期间，每分钟仍有3人通过
道口)，结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少

(3)已知关于x的方程(k-1)x2="(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根x1,x2. ①求k的取值范围.
图8
②是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数 如果存在，求出k的值；如果不存在，请说
明理由.

(4)已知反比例函数y=k 2x和一次函数y="2x-1，其中一次函数的 图象经过(a,b)、(a+1,b+k)两点.
①求反比例函数的解析式；
②如图8，已知点A在第一象限，且同时在上述两个两函数的图象上，求A
点坐标.
图9

(5)如图9，在边长为a的正方形ABCD中，M是边AD的中点，能否在边AB上找到点N(不
含A、B)使得△CDM与△MAN相似 若能，请给出证明，若不能，请说明理由.

图10

(6)如图10，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=43，D是线段BC的中
点.
①试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
②过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证直线DE是⊙O的切线.
题号 答案 难度级别 解读
(1) 4 A 实数的计算，注意运算秩序、运算法则、运算技
巧
.
(2) 应选择绕道去学校 B 列方程组解应用题，将数学语言转化为数学
表达式、方案选择
(3) ①k＜13 12②存在，k="3" 2
B 一元二次方程，根的判别式运用
(4) ①y="1" x②A(1,1) A
反比例函数、由点求解析式；再求特殊位置(点).
(5) 略 A 相似三角形的认识与证明.
(6) ①点D在⊙O上②略 B 点和圆的位置关系，切线的证明

例48分解答题
8分解答题，共4小题，每小题8分，共32分，来源于教材，有简单的综合，可以设置应用题
开放探索题，统计题.检查考生的运用数学知识解数学问题的题的能力.包括代数题、几何
题.
(1)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x="4； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：.
(2)小红和小明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子.
①当两枚骰子点数之积为奇数时，小红得3分，否则，张明得1分，这个游戏公平吗 为什么

②当两枚骰子的点数之和大于7时，小红得1分，否则小明得1分，这个游戏公平吗 为什么

图11
(3)如图11，在 ABCD中，∠DAB=60°，点F，E分别在AB，CD的延长线上，且CF=BC
，AE=AD.
①求证：四边形AFCE是平行四边形；
②若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗 若成立，请写出证明过程；若
不成立，请说明理由.
图12
(4)如图12，半径为2.5的⊙O中，直径AB不同侧有定点C和动点P，已知BC∶CA=4∶
３，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.
①当点P运动到点C关于AB对称时，求CQ的长；
②当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长；
③当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值，并求此时CQ的长.
题号 答案 难度级别 解读
(1) y="1" 7x2-8 7x+1
 B 求二次函数解析式.
(2) ①公平②不公平 B 概率应用.
(3) ①略②结论或证略 B 平行四边形的认识与证明.
(4) ①32 5②14 32

③20 3 C 圆内切相似三角形、线段的计算.
例5综合题
综合题，共2小题，每小题12分，共24分，涉及代数综合、几何综合、代数几何综合，着重
考查重点知识、重要方法、重要的数学思想，要求考生有较高的综合解题能力，善于驾驭全
面的数学能力，又能在具体的数学知识点作出准确的答案，层层递进，环环相扣.
(1)某学校高一年级举办年级足球单循环赛(即每两个班都要赛一场
，且只赛一场)，
得分规则是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得零分.各班比赛结果如下表所示.若最后1
班在年级获得第3名，5班获得第2名，3班获得第4名.
友情提示：
用符号代表：△胜，○平，×负
表中记载的情况是：
1班胜了2班、3班、4班
1班平了5班、1班负了6 班
 1 2 3 4 5 6 得分
 
名次
1  △ △ △ ○ × 10分 3
2 ×
3 ×  〖9〗4
4 ×  
5 ○    〖9〗2
6 △     〖9〗2
①若每个班的最后得分均不相等，请你利用表格设计多种满足上述要求的比赛结果；
②若每个班的最后得分可以相等，请你利用表格设计多种满足上述要求的比赛结果.
析解：以球赛的形式考查学生对积分的认识，以及观察问题、发现规律、
探究求解的思维方式、思维过程与思维能力.由于本题的答案不唯一，只要符合要求，均是
正确的，以下提供一种设计方案参考，其余留给同学们继续思考：(1)每个班得分均不相等
的设计方案：
 1 2 3 4 5 6 得分
名次
1  △ △ △ ○ × 10分 3
2 ×  ○ ○ × × 2分 5
3 × ○  △ × × 4分 4
4 × ○ ×  × × 1分 6
5 ○ △ △ △  ○ 11分 2
6 △ △ △ △ ○  13分 1
(2)每个班得分可以相等的设计方案：
 1 2 3 4 5 6 得分
名次
1  △ △ △ ○ × 10分 3
2 ×  × ○ × × 1分 5
3 × △  △ × × 6分 4
4 × ○ ×  × × 1分 5
5 ○ △ △ △  ○ 11分 2
6 △ △ △ △ ○  13分 1

图13
(2)已知如图13，抛物线y="ax2+bx与x轴的一个交点为B，顶点A在直线y=3 x上，O为坐标原点.
①证明：△OAB为等边三角形；
②若△OAB的内切圆半径为1，求出抛物线的解析式；
③在抛物线上是否存在点P，使△OPOB是直角三角形 若存在，请求出点P的坐标；若不存在
，请说明理由.
①如图13，过A作AC⊥OB于点C.
∵点A在直线y=3x上，∴可设A(x，3x)
在Rt△OAC中.∵tg∠AOC=AC OC="3｜x｜"
｜x｜="3， ∴∠AOC=60°∴△AOB为等边三角形.
②当a<0时，设△AOB内心为I，则∠IOC=30°
在Rt△IOC中.∵IC=1，∴OC=3
∴对称轴x=-b 2a="3 又∵顶点A在y=3上，∴-b２ 4a="3解得a=-1,b=23. ∴抛物线的解析式是y=-x2+23x
当a>0时，同法可求，另一条抛物线的解析式为y=x2+23x
③假设存在符号条件的点P(m,n)，过P作PD⊥OB于D，则
Rt△OPD∽Rt△PBD，∴PD2=OD-BD
由题意知：B(-23 a，0)抛物线解析式为：y="ax2+2 3x
∴n2=m(-23 a-m)n="am2+23m解之，略. 所以，在抛物线y=ax2+23x上，存在点P，使△POB为直角三角形，其坐标
为：P1(-3+2 a,-1 a)P2(-3-2 a,-1 a).难度级别：C

图14
(3)设二次函数y="ax2+bx+c(a>0,b>0)的图象经过(0，y1)、(1,y2)和(-1,y3 )三点(如图14)且满足y21=y22=y23=1.
①求这个二次函数的解析式；
②设这个二次函数的图象与x轴的两个交点为A(x1,0)、B(x2,0),x1连结AC、BC，动点P从A点出发沿折线ACB运动，求△ABP的面积的最大值；
③当点P在折线ACB上运动时，是否存在点P使△APB的外接圆的圆心在x轴上 请说明理由.
析解：①由已知，得(a+b+c)2=(a-b+c)2=c2=1
解得a=1,c=-1,b=1
∴二次函数的解析式为y=x2+x+1
②二次函数y=x2+x-1的顶点C的坐标是(-1 2，-5 4
)
显然，当动点P从A点出发沿折线ACB运动至顶点C时，△ABP的面积最大.
易知A、B两点的坐标是(-1+5 2，0)、(-1+5 2，0)
∴△ABP面积的最大值是S="1" 2×5×5 4="5" 85
③设二次函数的对称轴交x轴于点D，则AD="BD=5" 2，CD
="5" 4
在Rt△ADC中，tan∠DAC="CD" AD="5" 2>1∴∠DAC>45°
∵CA="CB∴∠ACB<90°∴△ABC是锐角三角形 ∴在折线ACB上一定存在点P，使∠APB=90°，即存在点P使△APB的外接圆的圆心在x轴上.
难度级别：D
(4)某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
命题1：如图①，在三角形ABC中，M、N分别是CA、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=6
0°，则BM=CN.
命题2：如图②，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、DA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=
90°，则BM=CN.
请你根据上述命题，探索下列问题：
①如图③，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，当∠BON等
于多少度时，有结论BM=CN成立；
②如图④，在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，试
问当∠BON=等于多少度时，结论BM=CN成立；
③如图⑤，在正五边形ABCDE中，若M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=
108°，试问结论BM=CN是否成立 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
图15
析解：根据命题1，命题2中不同图形中同一个角的度数的变化，探究相同
的结论，然后运用类比的手段，对正五边形、正n边形进行类似的探究，继而改变已知条件
，再次探究相同的结论，可以得到：
①在图③中，当∠BON=108°时，有结论BM=CN成立；
②在图④中，当∠BON=(n-2) 2×180°时，有结论BM="CN成立； ③在图⑤中，当∠BON=108°时，有结论BM=CN仍然成立.其证明是：
连接BD、CE，则由△BCD △OCDE，得BD=CD，∠BDC=∠CED，从而∠BDM=∠CEN.又由
∠DBM=∠ECN，得△BDM △CEN，故BM=CN.
难度级别：D